【龙八国际】2022年广东中考数学压轴题，四种思路，找出最简便的方法

去年广东中考数学据说很难，所有的题老黄都分析过了。今年新鲜出炉的广东中考数学压轴题，又走了另一个极端，变得特别简单。老黄甚至觉得，它作为一道选择题或者填空题更加合适。所以说它是一道冒牌的压轴题。题目是这样的：

如图，抛物线y=x^2+bx+c (b,c是常数)的顶点为C，与x轴交于A,B两点，A(1,0), AB=4, 点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标.

分析：(1)第一小题毫无难度可言。关键是怎么做，更快更准确。

(2)这道题可能有两种大众化的思路。

I. 利用平行线截取线段成比例，及其构成相似三角形的关系，把三角形CPQ和三角形ABC的面积比转化出来，得到三角形CPQ的面积与点P的横坐标(记为p)的函数关系，应该就可以解决了。这种方法老黄试了一下，有可能行不通。

II. 求直线AC的解析式，以及BC的斜率，根据平行线的斜率相同，设PQ的解析式。然后求出Q点关于p的坐标，再利用三角形CPQ的面积等于三角形ACP的面积与三角形APQ的面积的差，来得到函数关系。这种方法老黄试过了，行得通的。不过并非最简便的方法。

III. 比较简便的思路是利用三角形ABC和三角形APQ的相似关系，可以知道，它们的高都等于各自的底，这样列II中的函数关系会更快捷。

IV. 最后一种秒杀此题的方法，要用到高中的一个知识点，文章最后再做介绍。这个知识点初中生也应该掌握起来。

解：(1)由A(1,0), AB=4，知B(-3,0).

∴该抛物线的解析式为：y=(x+3)(x-1)=x^2+2x-3=(x+1)^2-4.【交点式，一般式，顶点式老黄都写了，主要是后面可能需要用到，不需要再补充】

(2)C(-1,-4),【这就是顶点式得到的】

设P(p,0), 则AP=1-p,

记△ABC的高为h=4, △APQ的高为h’,

∵PQ//BC, h’/AP=h/AB=1, h’=AB=1-p.

S△CPQ=S△ACP-S△APQ=4(1-p)/2-(1-p)^2/2=-(p+1)^2/2+2.

∴当P(-1,0)时，△CPQ的面积最大.

怎么样？这种方法够简便了吧！不过还没完，如果这是一道选择题，或填空题，我们可以利用高中“三角形面积的正弦公式”秒杀它。

通过观察，可以发现，角CPQ是一个定角，而且CQ+PQ=AC是定长。

根据“三角形面积的正弦公式”，S△CPQ=CQ*PQ*sin∠CPQ /2, 以及均值不等式的知识，可以知道，当CQ=PQ=AC/2时，三角形CPQ的面积就最大。而此时点P是AB的中点，就有p=(1-3)/2=-1.

你说这道题是不是冒牌的中考数学压轴题啊！

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